초등학교 수학과 교수 학습 모형

개요

수학과 교수학습모형으로는 개념학습모형, 원리탐구학습모형, 귀납추론학습모형, 문제해결학습모형이 있다.

모형이 적어서 기분이 좋다

 

I. 개념학습모형

 

<넋두리>

개념은 수학, 사회, 과학 등 여러 교과에서 모두 강조한다.

수학뿐만 아니라 사회과에도 개념학습모형이 있다. 이를 세분화하면 속성모형, 원형모형, 상황모형으로 나눌 수 있다.

과학과에는 개념학습모형이라는 명칭은 없지만 순환학습모형의 명칭을 보면 '탐색-개념도입-개념적용' 단계로 이루어져 있다. 과학 개념을 구성할 때 순환학습모형을 사용하는 것을 보면, 개념이 여러 교과에서 중요한 지식 형태임을 알 수 있다.

 

스켐프(Skemp)는 개념을 '정적인 예'와 '부적인 예'로 나누어 형성하게 할 것을 강조하였다. 이는 사회과 속성모형의 '사례 검토', 원형모형의 '비례 검토'와 맥락을 같이 한다. 수학과 1~2학년군 도형 영역의 교수학습방법 중 '삼각형,사각형,원은 예인 것와 예가 아닌 것을 인식하고 분류하는 활동을 통하여 직관적으로 이해하게 한다.' 문장이 있는 것으로 보아 스켐프의 주장이 개념학습에 잘 녹아있음을 알 수 있다.

 

1. 단계

개념학습모형은

- 범례 제시 및 범례 분류하기

- 공통의 성질 추상화

- 개념 정의하기

- 개념 익히기

단계로 이루어진다.

 

2. 단계별 활동 (예) 삼각형의 의미와 구성요소를 알아보는 수업)

범례 제시 및 범례분류하기 단계에서는 정례와 비례를 제시한다.

예) 세모, 네모, 동그라미등 여러 가지 도형을 학생들에게 준다.

이때 학생들은 조작활동이나 관찰을 통해 도형을 분류한다. 학생들은 분류한 예들이 갖고 있는 공통 성질을 암묵적으로 생각할 수 있다.

예) 도형을 변의 개수에 따라 분류한다.

 

공통의 성질 추상화하기 단계에서는 분류한 정례의 공통의 성질을 명료화하거나 추상화한다.

예) 분류한 모양들은 모두 꼭짓점이 3개이다.

예) 분류한 모양들은 모두 변의 개수가 3개이다.

 

개념 정의하기 단계에서는 수학적인 용어와 기호로 개념을 정의할 수 있다.

예) 세 개의 변을 갖는 도형을 삼각형이라고 부릅니다.

 

개념 익히기 단계에서는 배운 개념을 적용한다.

예) 다음 그림에서 삼각형을 모두 찾아봅시다.

 

3. 유의사항

- 학습자가 구체적 조작기(Piaget)이기 때문에 구체적인 범례를 제시하는 것이 좋다.

- 학습자가 구체적 조작기(Piaget)이기 떄문에 구체적인 활동을 하는 것이 좋다.

- 유사하거나 서로 반대되는 개념을 비교/대조하게 한다. 이미 배운 개념들과 상호 관련성 및 차이점을 강조한다.(비교조직자?)

- 정례와 비례를 다양하게 제시한다.

- 변별하기 쉬운 예부터 제시한다.

- 수학적 개념에 대한 다양한 표상으로 [구체적 모형, 시각적 모형, 언어적 표현, 기호적 표현]으로 나타내게 한다.

 

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II. 원리탐구학습모형

 

<넋두리>

  원리탐구학습모형은 구성주의적 성격이 강하다. 선지식으로는 해결되지 않는 상황에서 인지적 갈등을 느끼고 필요성을 인식하게 한다. 이때 학습자는 원리를 구성하는 능동적 창조자가 된다. 따라서 원리탐구학습모형에서는 자발적인 학습이 가능하다.

  이 맥락이 과학과의 순환학습모형과 비슷하다. 순환학습모형의 첫 번째 단계인 '탐색'단계 역시 인지적 갈등을 일으키는 단계이다. 두 번째 단계인 '개념 도입'에서 배운 새로운 개념은 인지적 갈등을 해소하는 역할을 한다. 수학과의 원리탐구학습모형에서는 수학적 원리가 그 역할을 한다.

 

1. 단계

원리탐구학습모형은

- 새로운 문제 상황 제시

- 수학적 원리의 필요성 인식

- 수학적 원리가 내재된 조작 활동

- 수학적 원리의 형식화

- 수학적 원리 익히기 및 적용하기

단계로 이루어진다.

 

2. 단계별 활동

새로운 문제 상황 제시단계는 인지적 갈등을 유도하는 단계이다. 학습자에게 새로운 문제는 기존 지식으로 해결하기 비효율적이거나 어렵기 때문이다.

수학적 원리의 필요성 인식단계는 이전에 습득한 지식을 가지고 수학적 원리의 필요성을 인식하는 단계이다.

예를 들어, 17+8은 17을 2와 15로 가르면(분해하면)

2와 8의 합은 10이 되기 때문에 25로 만들 수 있다.

수학적 원리가 내재된 조작 활동단계는 학습해야 할 원리가 내재된 조작활동을 하는 단계이다.

17+8에서 7+8은 15이기 때문에 15와 10을 더하면 25로 만들 수 있다.

수학적 원리의 형식화는 학습한 수학적 원리를 형식화하는 단계이다.

[되돌아보기] 형식화는 수학적 지식의 형성 과정에서 나타나는 특성으로, 절차를 하나의 규칙이나 원리로 만드는 과정이다. (알고리즘 만들기)

수학적 원리 익히기 및 적용하기는 형식화한 수학적 원리를 익히고 적용하는 단계이다.

개념학습모형의 개념 익히기와 맥락이 비슷하다.

 

3. 유의사항

- 학습자의 적극적이고 자발적 참여를 강조한다.(구성주의에서 학습자는 능동적 창조자이기 때문에 자발적 참여가 필수적)

- 학생들이 스스로 탐구할 기회를 충분히 제공하되, 학생들의 수준을 고려하여 교사의 안내 정도를 조정한다.(학습자가 스스로 탐구하기에 너무 어렵거나 방향을 잡기 어려울 때 교사는 안내자 역할을 수행해야 함)

- 원리탐구 학습은 충분한 자료와 논리적 증거를 바탕으로 수학적 원리를 이끌어내야 한다.

- 다양한 자료를 통하여 수학적 원리를 확인하고 검증하는 탐구 과정을 강조하면서 탐구심을 길러준다.(탐구학습이기 때문에 수학자로서의 경험을 하게 해주어야 함)

cf) 사회과의 본질 중 '사회과학모형'은 '꼬마 사회과학자'를 기르는 것이 목표다.

 

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III. 귀납추론학습모형

 

<넋두리>

 귀납적 사고는 수학 교과에서 중요한 사고 기능중 하나이다. 귀납적 사고란, 여러 개의 특수한 사실에서 하나의 일반적인 진술을 얻는 사고를 말한다. 수학과 이외에도 미술과 교수학습 모형 중 귀납적 사고법이 있고, 과학적 방법 중 귀납법이 있는 등 다른 교과에서도 자주 등장하는 사고방법이다. 그도 그럴 것이 연역적 사고와 함께 중학교 국어시간 때부터 귀에 못이 박히도록 들어왔으니, 본질적인 사고 기법 중 하나라는 이야기일 것이다.

 귀납추론학습모형은 귀납적 사고에 기반을 둔 모형이다. 여러 특수한 사실을 보여 준 뒤, 추측하고 검증하는 과정을 거쳐 일반화를 하는 과정을 거친다. 귀납추론학습모형은 수학적 개념을 형성하는데 주로 쓰이지만, 귀납적 사고 자체를 지도할 때 사용할 수도 있다.

 과학과의 '발견학습모형'은 귀납적 사고를 바탕으로 한다는 점에서 귀납추론학습모형과 비슷하다. 발견학습모형에서는 자료를 제시하고 관찰/탐색 시킨 뒤, 추가로 자료를 제시하여 다양한 자료에서 규칙성을 발견할 수 있도록 설계되었다. 귀납추론학습모형 역시 사례를 수집하고 관찰/실험한다는 점에서 비슷하다.

 

1. 단계

귀납추론학습모형은

- 사례 수집 및 관찰/실험

- 추측하기

- 추측의 검증

- 일반화 및 정당화

과정을 거친다.

2. 단계별 활동

사례 수집 및 관찰/실험 단계에서는 문제와 관련이 있는 사례를 수집하는 단계이다.

사례를 수집하면, 그들을 관찰/실험하거나 조작한다. 이러한 활동들은 구체적 조작기의 학습자들에게 효과적이다.

추측하기 단계에서는 사례 사이의 어떤 규칙이 있을지 추측하는 단계이다. 

이 공통규칙 및 성질은 수학적 식 또는 간결한 용어로 나타낼 수 있다.

예) 분모가 같은 분수의 덧셈은 분자끼리 더하고, 분모는 같게 나타낸다.

추측의 검증 단계에서는 실제로 학습자의 추측이 맞는지 확인하는 단계이다. 이때 새로운 사례를 가지고 와서 적용할 수 있다.

반례를 찾아보는 것도 좋은 방법이다. 반례를 찾았을 경우 추측이 거짓이 되기 때문에

추측을 수정하거나 관찰실험단계로 돌아가야한다.

일반화 및 정당화 단계에서는 추측을 일반화하는 단계이다. 이때 일반화로는 수학적 사실이나 공식으로 나타낼 수 있다.

예) 직각삼각형의 세 변의 길이는 항상 a^2+b^2=c^2를 만족한다. (단, a≤b＜c) (피타고라스의 정리)

 

3. 유의사항

- 학생들 스스로 주어진 자료를 수집하고 분류하게 한다.

- 자료를 수집분류하고 일반화하는데 교사의 역할이 중요하다.

(귀납적 사고를 형성하는 수업이므로 교사가 그 과정을 잡아주는 것이 좋다.)

- 주어진 조건 이상으로 추론하는 것은 항상 옳지 않다는 점을 강조한다. (귀납의 한계)

- 특정한 수학적 개념의 형성을 목적으로 사용하되, 귀납적 사고를 지도하는 데에도 사용할 수 있다.

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IV. 문제해결학습모형

 

<넋두리>

 문제 해결은 수학과 교과 역량의 첫 번째로, 수학의 가장 큰 목적 중 하나이다. Polya(포여)라는 수학자는 수학적 문제 해결을 주제로 연구한 적이 있는데, 그의 연구가 문제해결학습에 지대한 영향을 미쳤다. Polya는 문제 해결을 문제의 이해 - 해결 계획의 수립 - 해결 계획의 실행 - 반성 순서로 해결할 수 있다고 보았다. 실제로 문제해결학습모형의 순서도 Polya의 것과 동일하다.

 교수학습모형 외에도 2015개정 교육과정에도 그의 흔적이 보인다. 뒷교의 문제해결역량과 관련된 교수학습방향을 보면, '문제를 해결할 때에는 문제를 이해하고 해결 전략을 탐색하며 해결 과정을 실행하고 검증 및 반성하는 단계를 거치도록 한다.'라고 명시되어 있다. 해결계획의 수립이 해결전략의 탐색으로, 해결계획의 실행이 해결과정의 실행으로 바뀌어있다는 것을 제외하면 같은 내용이 들어가 있다고 생각할 수 있다.

 

1. 단계

문제해결학습모형은

- 문제의 이해

- 해결 계획의 수립

- 해결 계획의 실행

- 반성

순서로 이루어진다.

2. 단계별 활동

문제의 이해 단계에서는 주어진 문제를 해부한다. 문제의 구조 자체를 파악하게 되는데, 지도서에 따르면 문제에서 구하려는 것, 주어진 것, 조건을 확인한다고 되어 있다.

예) '가로의 길이가 6cm, 세로의 길이가 3cm인 직사각형이 있습니다. 이 직사각형의 둘레는 몇 cm입니까?'

라는 문제가 있을 때

구하려는 것은 직사각형의 둘레

주어진 것은 가로의 길이와 세로의 길이

조건은 cm로 쓸 것

임을 알 수 있다.

해결 계획의 수립 단계에서는 문제 해결 전략을 세우는 단계이다. 이것 때문에 뒷교에서 해결 전략의 탐색으로 기술되어 있는 듯 하다. 문제 해결 전략을 세울 때에는 비슷한 문제를 떠올리면 쉽기 때문에 비슷한 문제를 풀어본 경험을 떠올릴 수 있다.

해결 계획의 실행 단계는 수립한 해결 계획을 가지고 직접 풀어보는 단계이다.

반성단계는 해결한 문제를 가지고 되새김질하는 단계이다. Polya는 문제 해결이 답을 구하는 데에서 끝나지 않는다고 보았다. 더 나은 해결방안이 있는지, 자신의 해결 과정에서 틀린 점은 없었는지, 새로운 문제를 어떻게 만들 수 있는지 등 문제를 여러 시각에서 반성하기를 강조했다.

 

3. 유의사항

- 학생들의 수준과 관심사를 고려한 문제를 제시한다.

예) 지도 학급이 이전에 환경 교육을 했을 경우, 물 사용량을 가지고 들이의 덧셈과 뺄셈을 제시할 수 있다.

- 학생들이 직접 문제를 해결하는 활동이어야 한다.

- 학생들이 질문을 한 경우에는 절대로 직접적인 답이나 결정적인 힌트를 주어서는 안 된다.

- 문제에 제시된 조건 중 필요 없는 조건은 없는지 필요한 정보가 빠져있지 않은지 검토한다. (문제의 이해 단계)

- 문제를 해결하고 난 뒤에는 자신의 문제 해결 과정을 다시 검토한다. (반성 단계)

- 자신의 해결 방법을 친구들에게 설득력 있게 설명하는 과정이 필요하며, 다른 친구의 해결 방법을 경청하고 논의하는 과정이 필요하다. (수학교과역량-의사소통; 자신의 생각 표현+타인의 생각 이해)

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참고자료

수학과 교육과정

초등학교 수학 교사용 지도서