수학적 지식 : 지식의 두 관점, 개념, 원리, 법칙

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1. 수학의 과정적 지식과 결과적 지식

수학에서 ‘지식’이란 무엇을 의미하는가? 수학적 지식은 과정적인 측면과 결과적인 측면으로 나눌 수 있다고 생각한다. 인간이 주어진 수학 문제를 수학적으로 해결하는 것과, 그러한 지적 활동의 산물로써의 지식으로 볼 수 있다. 예를 들어 다음 문제를 보자.

이 문제를 풀기 위해서는 네모가 무엇을 의미하는지 알아야 한다.

(초등 교육과정에서는 방정식이라는 개념을 사용하지 않고 □가 사용된 덧셈식과 뺄셈식이라고 이야기한다.)

 

[2수01-09] □가 사용된 덧셈식과 뺄셈식을 만들고, □의 값을 구할 수 있다.

▲주어진 문제와 관련한 성취기준

 

이 문제를 풀기 위해 아이는 □에 알맞은 수를 찾으려고 할 것이다. □에 6을 넣으면 어떻게 될까? 6+5=11이므로, □에 알맞은 수가 아니다. 그렇다면 1을 더하면 어떨까? 7+5=12이므로, □은 7이다. 이와 같이 문제를 해결하는 활동은 과정적인 측면에서 지식이다.

 

그런데 수학에서는 지적활동의 결과로서의 지식도 있다. 위 문제는 양변에 5를 뺌으로써 □의 값을 구할 수 있다. 중등수학에서 등식의 성질이라고 가르치는 것이 그것이다. 등식의 성질에서 제시하고 있는 네 가지 공식은 지적활동의 결과로써의 지식이다.

 

교육과정에서 이러한 지식은 개념, 원리, 법칙 세 가지 측면에서 이야기하고 있다. 그리고 지식은 학습하면서 시간에 따라 형성되고 적용 및 발전하며, 머릿속에 보존 및 정리가 된다. 지도서에서는 수학적 지식 중 개념, 원리, 법칙이 무엇인지 개괄적으로 소개한 후, 시간에 따라 지식이 안착되는 단계에 따라 지식의 특성을 나누고 있다(수학 교사용 지도서,2019).

 

 

2. 개념, 원리, 법칙의 의미

수학과 교육과정에서는 수학적 지식을 익히는 것을 수학교육의 목표로 제시하고 있다. 교육과정 본문을 살펴보자.

수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 기능을 습득하며 수학적으로 추론하고 의사소통하는 능려을 길러, 생활 주변과 사회 및 자연 현상을 수학적으로 이해하고 문제를 합리적이고 창의적으로 해결하며, 수학 학습자로서 바람직한 태도와 실천 능력을 기른다.(수학과 교육과정, 교육부, 2015)

이 중 ‘수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고~’ 부분은 수학의 지식을 이해하고 부분에 속한다. 즉 수학적 지식은 개념, 원리, 법칙이 있음을 알 수 있다. 그렇다면, 개념, 원리, 법칙은 각각 무엇일까? 지도서에서 제시한 세 가지 지식을 정리하면 다음과 같다(수학 교사용 지도서,2019).

 

개념	사물이나 실체 중 공통적이고 일반적인 특징만을 뽑아낸 것
원리	수학의 일반적인 특징을 증명할 수 있는 명제로 나타낸 것
법칙	현상에 존재하는 보편적이고 필연적인 규칙

 

(1) 개념

 

개념은 실제로 존재하는 것들의 공통점을 일반화한 하나의 생각(관념)이다. 토끼 세 마리, 삼 척(尺)의 기둥, 고기 세 근 모두 손가락을 세 번 꼽아 셀 수 있다. 이러한 특성은 숫자 3으로 일반화할 수 있다. 또는 구슬 4개, 6개, 10개는 모두 양손에 똑같은 개수로 나눌 수 있는데, 이를 홀수라는 개념으로 합칠 수 있다. 이와 같이 개념은 공통적인 실체를 하나의 생각으로 묶는다.

 

개념은 개별 개념, 관계 개념, 조작 개념이 있다. 개념의 대상이 하나라면 개별 개념, 둘 사이의 관계를 나타내는 개념은 관계 개념, 어떤 대상을 조작하여 새로운 것을 얻는 것을 조작 개념이라고 한다.

 

예를 들어, 자연수, 무리수, 정사각형, 원기둥은 개별 개념이다.

공약수는 두 수를 가지고 구하는 것이므로 관계 개념이고, 두 도형이 평행하거나 수직인 관계 또한 관계 개념이다. 덧셈, 뺄셈, 함수 등 어떤 대상을 계산 또는 조작하여 새로운 대상을 얻는 개념이다.

 

관계 개념과 조작 개념은 둘 이상을 대상으로 한다는 점에서는 같지만, 그 대상 사이의 관계가 조금 다르다. 관계 개념은 서로 같은 속성 사이의 관계를 의미한다. 예를 들어, 평행은 직선끼리, 평면끼리, 직선과 평면 등 도형끼리의 관계를 말하므로 관계 개념이다. 공배수 역시 두 자연수의 공통된 배수이므로 수라는 같은 속성의 관계다.

반면 조작개념은 조작하기 전과 후의 모습이 달라진다. 에를 들어, 덧셈 2+3=5은 2,3에서 5로 변화한다. 합을 구함으로써 새로운 모습으로 변화한다.

 

(2) 원리

원리는 증명할 수 있는 명제의 형태로 제시한 이치다. 만약 ‘삼각형의 내각의 합은 180°이다.’라는 명제가 있다면, 이는 밑변에 평행하고 나머지 꼭짓점을 지나는 평행선을 그린 후, 엇각을 나타냄으로써 증명할 수 있다. (혹은 삼각형을 세 조각으로 잘라 평각을 만들어볼 수도 있다.) 이 명제는 증명할 수 있고, 수학적 이치를 나타내고 있으므로 원리의 한 사례로 볼 수 있다.

 

(3) 법칙

법칙이란 보편적인 규칙으로, 우리가 공부하는 대부분의 공식들이 법칙에 해당한다. 공식 자체가 예외 없이 어떤 수를 넣어도 성립하기 때문이다. 예를 들어,

이다. x=1이고 y=2일 때 (1+2)^2 =9이고, 1^2+2×1×2+1^2=9다. x,y에 어떤 숫자를 넣더라도 공식은 성립한다.

따라서 일반적으로 사용하는 공식이나 약속들은 수학의 법칙이라고 이야기할 수 있다.

 

 

<되돌아보기>

 

1. 수학과 교육과정에서 수학적 지식은 (         ), (          ), (          ) 세 가지로 생각한다.

2. 평행이동은 수학 개념 중 어떤 종류에 해당하는지 쓰시오.

3. 수학 지식의 과정은 지식의 (          )과정, (          )및 (          )과정, (         )및 (          )과정을 거친다.

 

 

 

1. 개념, 원리, 법칙

2. 조작개념(조작한 후 도형의 위치가 달라지기 때문이다.)

3. 형성, 적용, 발전, 보존, 정리

 

출처 : 수학 교사용 지도서 (2019)